Question

如圖，對于任意△ABC，分別以它的三邊為邊長作一個正方形．求證：S_△AGM+S_△BHP+S_△CNQ=3S_△ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：可以利用正方形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，通過證明三角形全等，且可得∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，然后再證明S_△DIK=3S_△ABC，就可以得出結(jié)論．

解答：證明：把△AEF沿AB平移，△HCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，連接DI，BI，KI，
∴△DBI≌△AEF，△BIK≌△HCG，
∵∠EAF+∠BAC+∠ABC+∠GCH+∠ACB+∠DBK=540°，且∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠EAF+∠GCH+∠DBK=360°，
∴可拼成一個△DIK，
把△GCH繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCG′，
∵∠ACB+∠GCH=180°，
∴∠ACB+∠BCG′=180°
∴A，C，G′在一條直線上，且C為AG′的中點(diǎn)．
∴S_△BCG′=S_△ABC，
∴S_△BIK=S_△ABC，
同理S_△DBK=S_△DBI=S_△ABC，
∴由DK、EF、GH為三邊構(gòu)成的△DIK的面積S_△DIK=3S_△ABC．
∴S_△AGM+S_△BHP+S_△CNQ=3S_△ABC．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形全等的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，圖形的旋轉(zhuǎn)和平移的運(yùn)用，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)和平移是解答問題的關(guān)鍵．