Question

閱讀材料：當拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時，隨著系數(shù)中字母取值的不同，拋物線的頂點坐標也將發(fā)生變化．例如：由拋物線y=x²-2mx+m²+2m-1…（1）
得：y=（x-m）²+2m-1…（2）
∴拋物線的頂點坐標為（m，2m-1），設(shè)頂點為P（x₀，y₀），則：

x0=m        …(3) y0=2m-1  …(4)

當m的值變化時，頂點橫、縱坐標x₀，y₀的值也隨之變化，將（3）代入（4）
得：y₀=2x₀-1．…（5）
可見，不論m取任何實數(shù)時，拋物線的頂點坐標都滿足y=2x-1．
解答問題：
①在上述過程中，由（1）到（2）所用的數(shù)學方法是

 

，其中運用的公式是

 

．由（3）、（4）得到（5）所用的數(shù)學方法是

 

．
②根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3的頂點縱坐標y與橫坐標x之間的函數(shù)關(guān)系式．
③是否存在實數(shù)m，使拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3與x軸兩交點A（x₁，0）、B（x₂，0）之間的距離為AB=4，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由（提示：|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂）．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把二次函數(shù)的一般式配成頂點式，通過消元可得到拋物線的頂點坐標都滿足的函數(shù)關(guān)系；
（2）根據(jù)（1）給的方法：先配成y=（x-m）²+2m²-4m+2，得到頂點坐標，然后消去m，得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；
（3）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，然后利用AB=|x₁-x₂|，通過變形得到AB=

-4(m-2) 2+4

，即可得到AB的最大值為2，由此得到不存在實數(shù)m，使AB=4．

解答：解：（1）配方法；完全平方公式；消元法；

（2）y=x²-2mx+2m²-4m+3=（x-m）²+2m²-4m+2，
∴拋物線的頂點坐標為（m，2m²-4m+2），設(shè)頂點為P（x₀，y₀），則：

x0=m y0=2m2-4m+2

，
當m的值變化時，頂點橫、縱坐標x₀，y₀的值也隨之變化，
∴y₀=2x₀²-4x₀+2，
可見，不論m取任何實數(shù)時，拋物線的頂點坐標都滿足y=2x²-4x+2；

（3）不存在．理由如下：
∵拋物線y=x²-2mx+2m²-4m+3與x軸兩交點A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x²-2mx+2m²-4m+3=0的兩個根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x 1 x2

=

(2m) 2-4(2m2-4m+3)

=

-4(m-2) 2+4

，
∴AB的最大值為2，
∴不存在實數(shù)m，使AB=4．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題：拋物線的頂點式y(tǒng)=a（x-h）²+k（a≠0），則頂點坐標為（h，k）；拋物線與x軸兩交點的距離．也考查了代數(shù)式的變形能力．