Question

（2012•西青區(qū)一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ （0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（Ⅰ）如圖①，當(dāng)AB∥CB′時(shí)，設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D．證明：△A′CD是等邊三角形；
（Ⅱ）如圖②，連接AA′、BB′，設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S₁、S₂．求證：S₁：S₂=1：3；
（Ⅲ）如圖③，設(shè)AC的中點(diǎn)為E，A′B′的中點(diǎn)為P，AC=a，連接EP．求當(dāng)θ為何值時(shí)，EP的長度最大，并寫出EP的最大值 （直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)AB∥CB′時(shí)，∠BCB′=∠B=∠B′=30°，則∠A′CD=90°-∠BCB′=60°，∠A′DC=∠BCB′+∠B′=60°，可證：△A′CD是等邊三角形；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△ACA′和△BCB′，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP，當(dāng)E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長，根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角及EP的長．

解答：（Ⅰ）證明：如圖①，
∵AB∥CB'，
∴∠BCB'=∠ABC=30°，
∴∠ACA'=30°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A'CD=60°．
又∵∠CA'B'=∠CAB=60°，
∴△A'CD是等邊三角形．

（Ⅱ） 證明：如圖②，
∵AC=A'C，BC=B'C，
∴

AC

BC

=

A′C

B′C

．
又∵∠ACA'=∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'．
∵

AC

BC

=tan30°=

3

3

，
∴S₁：S₂=AC²：BC²=1：3．

（Ⅲ）當(dāng)θ=120°時(shí)，EP的長度最大，EP的最大值為

3

2

a．
解：如圖，連接CP，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到E、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，EP最長，
此時(shí)θ=∠ACA′=120°，
∵∠B′=30°，∠A′CB′=90°，
∴A′C=AC=

1

2

A′B′=a，
∵AC中點(diǎn)為E，A′B′中點(diǎn)為P，∠A′CB′=90°
∴CP=

1

2

A′B′=a，EC=

1

2

a，
∴EP=EC+CP=

1

2

a+a=

3

2

a．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判斷與性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)及特殊三角形的性質(zhì)證明問題．