在直角坐標系xOy 中,已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(-4,0)、B(0,-3),與x軸的正半軸相交于點C,若△AOB∽△BOC(相似比不為1).
【小題1】(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
【小題2】(2)求△ABC的外接圓半徑r;
【小題3】(3)在線段AC上是否存在點M(m,0),使得以線段BM為直徑的圓與線段AB交于N點,且以點O、A、N為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
【小題1】⑴∵△AOB∽△BOC(相似比不為1),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/12/48512.png)
. 又∵OA="4," OB=3,
∴OC=3
2×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/13/48513.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/14/48514.png)
. ∴點C(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/14/48514.png)
, 0). …………………1分
設(shè)圖象經(jīng)過A、B、C三點的函數(shù)解析式是y=ax
2+bx+c,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/16/48516.png)
則c= -3,且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/17/48517.png)
…………………2分
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/18/48518.png)
解得,a=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/19/48519.png)
, b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/0/48520.png)
.
∴這個函數(shù)的解析式是y =
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/19/48519.png)
x
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/0/48520.png)
x-3.
【小題2】⑵∵△AOB∽△BOC(相似比不為1),
∴∠BAO=∠CBO.
又∵∠ABO+ ∠BAO =90°,
∴∠ABC=∠ABO+∠CBO=∠ABO+∠BAO=90°. ………………4分
∴AC是△ABC外接圓的直徑.
∴ r =
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/3/48523.png)
AC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/3/48523.png)
×[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/14/48514.png)
-(-4)]=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/6/48526.png)
.
【小題3】⑶∵點N在以BM為直徑的圓上,
∴∠MNB=90°. ……………………6分
①. 當AN=ON時,點N在OA的中垂線上,
∴點N
1是AB的中點,M
1是AC的中點.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/7/48527.png)
∴AM
1=" r" =
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/8/48528.png)
,點M
1(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/9/48529.png)
, 0),即m
1= -
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/9/48529.png)
. ………………7分
②. 當AN=OA時,Rt△AM
2N
2≌Rt△ABO,
∴AM
2=AB=5,點M
2(1, 0),即m
2=1.
③. 當ON=OA時,點N顯然不能在線段AB上.
綜上,符合題意的點M(m,0)存在,有兩解:
m= -
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czsx/9/48529.png)
,或1. 解析:
略