【題目】綜合與實踐

問題情境

如圖,同學(xué)們用矩形紙片ABCD開展數(shù)學(xué)探究活動,其中AD=8,CD=6。

操作計算

(1)如圖(1),分別沿BE,DF剪去RtΔABE和RtΔCDF兩張紙片,如果剩余的紙片BEDF菱形,求AE的長;

圖(1) 圖(2) 圖(3)

操作探究

把矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開,得到ΔABC和兩張紙片

(2)將兩張紙片如圖(2)擺放,點C和重合,點B,C,D在同一條直線上,連接,記的中點為M,連接BM,MD,發(fā)現(xiàn)ΔBMD是等腰三角形,請證明:

(3)如圖(3),將兩張紙片疊合在一起,然后將紙片繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a(00<a<900),連接,探究并直接寫出線段的關(guān)系。

【答案】(1)AE的長為;(2)見解析;(3)

【解析】試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出AB=CD=6,∠A=90°,由菱形的性質(zhì)得出BE=DE=AD-AE=8-AE,在Rt△ABE中,由勾股定理得出方程,解方程即可;
(2)連接MC,證出△ACA’是等腰直角三角形,得出∠CA’A=45°,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出A’M=CM=AM,∠MCA=45°,CM⊥AA’,證出∠BCM=∠DA’M,由SAS證明△BCM≌△DA’M,得出BM=DM,∠BMC=∠DMA’,由角的雇傭關(guān)系證出∠BMD=90°,即可得出結(jié)論;
(3)延長AC’、A’C交于點M,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:BC’=BA,BA’=BC,∠A’BC=∠ABC,∠BA’C=∠BC’A,證出∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C,由四邊形內(nèi)角和定理得出∠A’BC’+∠M=180°,證出∠M=90°,得出AC’⊥A’C,證明△ABC’∽△C’BA’,得出對應(yīng)邊成比例,即可求得AC’=A’C.

試題解析:

(1)解:∵四邊形ABCD是矩形,AD=8,CD=6,
∴AB=CD=6,∠A=90°,
∵四邊形BEDF是菱形,
∴BE=DE=AD-AE=8-AE,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:AB2+AE2=BE2,
即62+AE2=(8-AE)2,
解得:AE= ;
(2)證明:連接MC,如圖2所示:


根據(jù)題意得:△ABC≌△CDA’,∠CDA’=90°,
∴AC=A’C,∠BCA=∠CA’D,∠CA’D+∠A’CD=90°,
∴∠BCA+∠A’CD=90°,
∵點B,C,D在同一條直線上,
∴∠ACA’=90°,
∴△ACA’是等腰直角三角形,
∴∠CA’A=45°,
∵M是AA’的中點,
∴A’M=CM=AM,∠MCA=45°,CM⊥AA’,
∵∠BCA=∠CA’D,
∴∠BCA+∠MCA=∠CA’D+∠CA’A,
∴∠BCM=∠DA’M,
在△BCM和△DA’M中,

∴△BCM≌△DA’M(SAS),
∴BM=DM,∠BMC=∠DMA’,
∵∠CMD+∠DMA’=90°,
∴∠CMD+∠BMC=90°,
∴∠BMD=90°,
∴△BMD是等腰直角三角形;
(3)解:AC’⊥A’C,AC’=A’C,理由如下:
延長AC’、A’C交于點M,如圖3所示:


由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:BC’=BA,BA’=BC,∠A’BC=∠ABC,∠BA’C=∠BC’A,
∴∠BAC=∠BC’A,∠BCA’=∠BA’C,
∴∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C,
∵∠BC’A+∠BC’M=180°,
∴∠BA’C+∠BC’M=180°,
∴∠A’BC’+∠M=180°,
∵∠A’BC’=∠ABC=90°,
∴∠M=90°,
∴AC’⊥A’C,
∵∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C,
∴△ABC’∽△C’BA’,

,

∴AC’=A’C.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】黨的十八大提出,倡導(dǎo)富強、民主、文明、和諧,倡導(dǎo)自由、平等、公正、法治,倡導(dǎo)愛國、敬業(yè)、誠信、友善,積極培育和踐行社會主義核心價值觀,24個字是社會主義核心價值觀的基本內(nèi)容其中:

富強、民主、文明、和諧國家層面的價值目標(biāo);

自由、平等、公正、法治社會層面的價值取向;

愛國、敬業(yè)、誠信、友善公民個人層面的價值準(zhǔn)則

小光同學(xué)將其中的文明和諧、自由、平等的文字分別貼在4張硬紙板上,制成如右圖所示的卡片將這4張卡片背面朝上洗勻后放在桌子上,從中隨機抽取一張卡片,不放回,再隨機抽取一張卡片

1小光第一次抽取的卡片上的文字是國家層面價值目標(biāo)的概率是 ;

2請你用列表法或畫樹狀圖法,幫助小光求出兩次抽取卡片上的文字一次是國家層面價值目標(biāo)、一次

社會層面價值取向的概率卡片名稱可用字母表示).

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AH=DF; ②∠AEF=45°; ③S四邊形EFHG=SDEF+SAGH,

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(3)如圖(2)將直線向上平移,與反比例函數(shù)的圖像交于點D,連接DA,DB.若

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圖(1) 圖(2)

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學(xué)生立定路遠測試成績的頻數(shù)分布表

分組

頻數(shù)

12

10

請根據(jù)圖表中所提供的信息,完成下列問題:

1)求表中的值;

2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整;

3)該校八年級共有800名學(xué)生,估計該年級學(xué)生立定跳遠成績在范圍內(nèi)的學(xué)生有多少人?

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