Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

如圖，同學(xué)們用矩形紙片ABCD開展數(shù)學(xué)探究活動，其中AD=8，CD=6。

操作計算

（1）如圖（1），分別沿BE,DF剪去RtΔABE和RtΔCDF兩張紙片，如果剩余的紙片BEDF菱形，求AE的長；

圖（1） 圖（2） 圖（3）

操作探究

把矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到ΔABC和兩張紙片

(2)將兩張紙片如圖（2）擺放，點C和重合，點B,C,D在同一條直線上，連接,記的中點為M，連接BM，MD，發(fā)現(xiàn)ΔBMD是等腰三角形，請證明：

（3）如圖（3），將兩張紙片疊合在一起，然后將紙片繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a（00<a<900),連接和，探究并直接寫出線段與的關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1）AE的長為；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)得出AB=CD=6，∠A=90°，由菱形的性質(zhì)得出BE=DE=AD-AE=8-AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）連接MC，證出△ACA’是等腰直角三角形，得出∠CA’A=45°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出A’M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA’，證出∠BCM=∠DA’M，由SAS證明△BCM≌△DA’M，得出BM=DM，∠BMC=∠DMA’，由角的雇傭關(guān)系證出∠BMD=90°，即可得出結(jié)論；
（3）延長AC’、A’C交于點M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BC’=BA，BA’=BC，∠A’BC=∠ABC，∠BA’C=∠BC’A，證出∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C，由四邊形內(nèi)角和定理得出∠A’BC’+∠M=180°，證出∠M=90°，得出AC’⊥A’C，證明△ABC’∽△C’BA’，得出對應(yīng)邊成比例,即可求得AC’=A’C．

試題解析：

（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，CD=6，
∴AB=CD=6，∠A=90°，
∵四邊形BEDF是菱形，
∴BE=DE=AD-AE=8-AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，
即62+AE2=（8-AE）2，
解得：AE= ；
（2）證明：連接MC，如圖2所示：

根據(jù)題意得：△ABC≌△CDA’，∠CDA’=90°，
∴AC=A’C，∠BCA=∠CA’D，∠CA’D+∠A’CD=90°，
∴∠BCA+∠A’CD=90°，
∵點B，C，D在同一條直線上，
∴∠ACA’=90°，
∴△ACA’是等腰直角三角形，
∴∠CA’A=45°，
∵M(jìn)是AA’的中點，
∴A’M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA’，
∵∠BCA=∠CA’D，
∴∠BCA+∠MCA=∠CA’D+∠CA’A，
∴∠BCM=∠DA’M，
在△BCM和△DA’M中，

∴△BCM≌△DA’M（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMA’，
∵∠CMD+∠DMA’=90°，
∴∠CMD+∠BMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形；
（3）解：AC’⊥A’C，AC’=A’C，理由如下：
延長AC’、A’C交于點M，如圖3所示：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BC’=BA，BA’=BC，∠A’BC=∠ABC，∠BA’C=∠BC’A，
∴∠BAC=∠BC’A，∠BCA’=∠BA’C，
∴∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C，
∵∠BC’A+∠BC’M=180°，
∴∠BA’C+∠BC’M=180°，
∴∠A’BC’+∠M=180°，
∵∠A’BC’=∠ABC=90°，
∴∠M=90°，
∴AC’⊥A’C，
∵∠BAC=∠BC’A=∠BCA’=∠BA’C，
∴△ABC’∽△C’BA’，

∴,

∴AC’=A’C.