Question

在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．
（1）如圖1，當A′B′∥AC時，設A′C與AB相交于點D．證明：△BCD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接A′A、B′B，設△ACA′和△BCB′的面積分別為S_△ACA′和S_△BCB′．求：S_△ACA′與S_△BCB′的比；
（3）如圖3，設AC中點為E，A′B′中點為P，BC=a，連接EP，求：角θ為多少度時，EP長度最大，并求出EP的最大值．

Answer 1

（1）證明：如圖1，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠CBA=60°（直角三角形的兩個銳角互余）．
∵A′B′∥AC，
∴∠ACA′=∠CA′B′，
又由旋轉的性質知，∠CA′B′=∠CAB=30°，
∴∠ACA′=∠CAB=30°，即θ=30°，
∴∠A′CB=∠ACB-θ=90°-30°=60°，
∴∠CDB=60°，
∴在△CDB中，∠DCB=∠CBD=∠BDC=60°，
∴△BCD是等邊三角形；

（2）證明：如圖2，由旋轉的性質可知AC=CA₁，BC=CB₁，
∴=，
又由旋轉的性質知，∠ACA₁=∠BCB₁
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=AC²：BC²=：1=3：1；

（3）解：如圖，連接CP，當△ABC旋轉到△A′B′C的位置時，
此時θ=∠ACA′=150°，EP=EC+CP=AC+A′B′=×a+×2a=a．
即角θ150°時，EP長度最大，其最大值是a．
分析：（1）由∠ACB=90°，∠BAC=30°得∠CBA=90°-30°=60°，根據(jù)旋轉的性質可得∠CA′B′=∠CAB=30°，而A′B′∥AC，所以∠ACA′=∠CA′B′=30°，即θ=30°；
（2）由旋轉的性質可證△ACA₁∽△BCB₁，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP，當E、C、P三點共線時，EP最長，根據(jù)圖形求出此時的旋轉角及EP的長．
點評：本題考查了旋轉的性質，特殊三角形的判定與性質，相似三角形的判斷與性質．關鍵是根據(jù)旋轉及特殊三角形的性質證明問題．