Question

如圖，圓B切y軸于原點(diǎn)O，過定點(diǎn)A（-，0）作圓B的切線交圓于點(diǎn)P，已知tan∠PAB=，拋物線C經(jīng)過A，P兩點(diǎn)．
（1）求圓B的半徑．
（2）若拋物線C經(jīng)過點(diǎn)B，求其解析式．
（3）設(shè)拋物線C交y軸于點(diǎn)M，若三角形APM為直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：
（1）連接PB，則PB⊥AP，設(shè)PB=r，
∵tan∠PAB=，
∴∠PAB=30°，
故r=（OA+OB）=（2+r），
解得r=2．

（2）如P在第一象限，OP與x軸的夾角=2∠PAB=60°
則：P點(diǎn)坐標(biāo)（2cos60°，2sin60°），
即（，3）
B、A關(guān)于y軸對(duì)稱，所以拋物線頂點(diǎn)必在y軸上，
設(shè)為（0，m）
拋物線解析式：y-m=kx²
將（，3），（2，0），代入，
得：3-m=3k，-m=12k，m=4，k=-
拋物線解析式：y=-x²+4
若P點(diǎn)在四象限，則：P點(diǎn)坐標(biāo)（，-3）
則拋物線解析式：y=x²-4

（3）由于P點(diǎn)坐標(biāo)為（，3），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t）．
根據(jù)勾股定理，①PA²=PM²+AM²，36=t²-6t+12+12+t²，
解得t=；
②PM²=PA²+AM²，t²-6t+12=36+12+t²，解得t=-6；
③AM²=PA²+PM²，12+t²=36+t²-6t+12，解得t=6．
于是M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6），（0，6），（0，），（0，）．
分析：（1）因?yàn)锳P是⊙B的切線，所以連接PB可構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值即可求出圓B的半徑．
（2）根據(jù)⊙B的半徑可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用勾股定理或切割線定理可求出AP的距離，根據(jù)AP、BP的長(zhǎng)可求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式．
（3）求出P點(diǎn)坐標(biāo)和A點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理及其逆定理解答．
點(diǎn)評(píng)：此題將圓、拋物線、直線結(jié)合起來，考查了對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力．特別是解（3）時(shí)，要應(yīng)用勾股定理進(jìn)行分類討論．