【題目】已知△ABC,點D、F分別為線段AC、AB上兩點,連接BD、CF交于點E.

(1)若BD⊥AC,CF⊥AB,如圖1所示,試說明∠BAC+∠BEC=180°;

(2)若BD平分∠ABC,CF平分∠ACB,如圖2所示,試說明此時∠BAC與∠BEC的數(shù)量關(guān)系;

(3)在(2)的條件下,若∠BAC=60°,試說明:EF=ED.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】分析:(1)根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DEC=BAC,由于∠DEC+BEC=180°,即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBC=ABCECB=ACB,于是得到結(jié)論;(3)作∠BEC的平分線EMBCM,由∠BAC=60°,得到∠BEC=90°+BAC=120°,求得∠FEB=DEC=60°,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠BEM=60°,推出FBE≌△EBM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EF=EM,同理DE=EM,即可得到結(jié)論.

本題解析:

(1)BDACCFAB,

∴∠DCE+DEC=DCE+FAC=90°,

∴∠DEC=BAC,DEC+BEC=180°

∴∠BAC+BEC=180°;

(2)BD平分∠ABC,CF平分∠ACB

∴∠EBC=ABC,ECB=ACB,BEC=180°(EBC+ECB)=180° (ABC+ACB)=180 (180°BAC)=90°+BAC,

(3)作∠BEC的平分線EMBCM

∵∠BAC=60°,

∴∠BEC=90°+BAC=120°,

∴∠FEB=DEC=60°

EM平分∠BEC,

∴∠BEM=60°,

FBEEBM中,

FBE=EBMBE=BEFEB=MEB,

∴△FBE≌△EBM,

EF=EM,同理DE=EM,

EF=DE.

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