Question

已知：如圖，MN⊥PQ，垂足為O，點(diǎn)A、B分別在射線上OM、OP上，直線BE平分∠PBA與∠BAO的平分線相交于點(diǎn)C．
（1）若∠BAO=45°，求∠ACB；
（2）若點(diǎn)A、B分別在射線上OM、OP上移動(dòng)，試問∠ACB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？如果保持不變，請說明理由；如果隨點(diǎn)A、B的移動(dòng)發(fā)生變化，請求出變化的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠PBA，然后根據(jù)角平分線的定義表示出∠FBA與∠BAC，最后在△ABC中，利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)（1）的求解思路，求出∠ACB的表達(dá)式，是常數(shù)，所以不論點(diǎn)A、B如何移動(dòng)，角的大小保持不變．

解答：解：（1）∵M(jìn)N⊥PQ，
∴∠BOA=90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+90°=135°，
∵∠PBA與∠BAO的平分線相交于點(diǎn)C，
∴∠BAC=

1

2

∠BAO=

1

2

×45°=22.5°，
∠FBA=

1

2

∠PBA=

1

2

×135°=67.5°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=67.5°-22.5°=45°；

（2）∵M(jìn)N⊥PQ，
∴∠BOA=90°，
在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=∠BAO+90°，
∵∠PBA與∠BAO的平分線相交于點(diǎn)C，
∴∠BAC=

1

2

∠BAO，
∠FBA=

1

2

∠PBA=

1

2

（∠BAO+90°）=

1

2

∠BAO+45°，
在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=

1

2

∠BAO+45°-

1

2

∠BAO=45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，求出各角的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，難度中等．