Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（），B（），C（）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，試判斷拋物線上是否存在點(diǎn)H滿足？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C（0，2），

∴可設(shè)該拋物線的解析式為．

將A（-2，0），B（-，0）代入，得，

解得：

∴此拋物線的解析式為；……………………………………………4分

（2）由題意可求得直線AC的解析式為．………………………………………5分

如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（-2＜t＜0），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

過D作y軸的平行線交AC于E．

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為．

∴，用h表示點(diǎn)C到線段DE所在直線的距離，

∴

………………………………………………7分

∵-2＜t＜0

∴當(dāng)t=-1時(shí)，△DAC面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-1）．…………………8分

（3）點(diǎn)H存在．………………………………………………………………………9分

由（1）知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

解法一：如圖，假設(shè)存在點(diǎn)H，滿足

作直線MH交軸于點(diǎn)K(，0)，作MN⊥軸于點(diǎn)N．

∵,

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴點(diǎn)K的坐標(biāo)為（）……………………………………………………………11分

所以直線MK的解析式為.

∴ 把①代入②，化簡(jiǎn)，得：．

＞0． …………………………………12分

∴，．將代入中，解得

∴ 直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．

∴ 拋物線上必存在一點(diǎn)H，使∠AMH＝90?，

此時(shí)點(diǎn)H坐標(biāo)為．…………………………………………………13分

解法二：如圖，過點(diǎn)A作直線,過頂點(diǎn)M作MN⊥AM，MF分別交直線于點(diǎn)N和點(diǎn)F．則 ∠FMN＋∠AMF＝90?．

∵ ∠MAF＋∠AMF＝90?，

∴ ∠MAF＝∠FMN．

又∵ ∠AFM＝∠MFN＝90?，

∴ △AFM∽△MFN．

∴ AF∶MF＝MF∶FN． 即

∴ FN＝．

∴ 點(diǎn)N的坐標(biāo)為． …………………11分

設(shè)過點(diǎn)M，N的直線的解析式為．

將M,N代入得：

解得：

所以直線MN的解析式為

∴ 把①代入②，化簡(jiǎn)，得：．

＞0．…………………………………12分

∴，．將代入中，解得

∴ 直線MN與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)M）．

∴ 拋物線上必存在一點(diǎn)H，使∠AMH＝90?，

此時(shí)點(diǎn)H坐標(biāo)為．