Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C，D在y軸上，AB⊥x軸，BC⊥y軸，且B（10，3），OD=5，連接AD交于BC于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿折線A→O→D向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，AD將△PAB的面積分別相等的兩部分？請(qǐng)求出t的值，并直接寫出此時(shí)PB所在直線的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由矩形ABCO，利用矩形的性質(zhì)得到CE與OA平行，由兩直線平行得到兩對(duì)同位角相等，利用兩對(duì)角相等的兩三角形相似得到三角形DCE與三角形DOA相似，由相似得比例求出CE的長，再由E與B縱坐標(biāo)相同，即可確定出E的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)三角形ABP為直角三角形，由速度乘以時(shí)間表示出AP的長，利用三角形面積公式列出S關(guān)于t的關(guān)系式即可；當(dāng)P在OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形ABP面積以AB為底，高為BC，表示出S與t的關(guān)系式即可；
（3）如圖所示，當(dāng)EP與OA垂直，即四邊形ABEP為矩形時(shí)，AD將△PAB的面積分別相等的兩部分，此時(shí)EB=AP，即可求出此時(shí)t的值，確定出P的坐標(biāo)，設(shè)直線PB解析式為y=kx+b，將P與B坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線PB的解析式．

解答：
解：（1）∵矩形ABCO，
∴CE∥OA，
∴∠DCE=∠DOA，∠DEC=∠DAO，
∴△DCE∽△DOA，
∴

DC

OD

=

CE

OA

，
∵B（10，3），OD=5，
∴BC=OA=10，AB=OC=3，DC=OD-OC=5-3=2，
∴

2

5

=

CE

10

，即CE=4，
則E坐標(biāo)為（4，3）；
（2）分兩種情況考慮：
當(dāng)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖1所示，
∵AB=3，PA=2t，
∴S_△ABP=

1

2

AB•AP=

1

2

×3×2t=3t，（0≤t≤5）；
當(dāng)P在OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2所示，
∵AB=3，BC=10，
∴S_△ABP=

1

2

×3×10=15，（5＜t≤7.5）；
（3）過E作EP⊥OA，交OA于點(diǎn)P，連接PB，與AE交于Q點(diǎn)，如圖3所示，
∵∠EPA=∠ABE=∠BAP=90°，
∴四邊形ABEP為矩形，
∴Q為PB的中點(diǎn)，即BQ=PQ，AP=BE=2t，
∴S_△ABQ=S_△APQ（等底同高的三角形面積相等），
即AD將△PAB的面積分別相等的兩部分，
∵CE=4，BC=10，
∴AP=BE=10-4=6=2t，即t=3，
則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，t為3秒時(shí)，AD將△PAB的面積分別相等的兩部分；
∵OP=CE=4，∴P（4，0），
設(shè)直線PB解析式為y=kx+b，
將P與B坐標(biāo)代入得：

10k+b=3 4k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=-2

，
則此時(shí)直線PB解析式為y=

1

2

x-2．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，是一道動(dòng)點(diǎn)問題的探究題．