【題目】已知:如圖1,OM是∠AOB的平分線,點C在OM上,OC=5,且點C到OA的距離為3.過點C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分別為D、E,易得到結論:OD+OE等于多少;
(1)把圖1中的∠DCE繞點C旋轉,當CD與OA不垂直時(如圖2),上述結論是否成立?并說明理由;
(2)把圖1中的∠DCE繞點C旋轉,當CD與OA的反向延長線相交于點D時:
①請在圖3中畫出圖形;
②上述結論還成立嗎?若成立,請給出證明;若不成立,請直接寫出線段OD、OE之間的數量關系,不需證明.
【答案】OD+OE=8;(1)上述結論成立,理由見解析;(2)①補全圖形如圖3,見解析;②上述結論不成立,OE﹣OD=8,理由見解析.
【解析】
先利用勾股定理求出OD,再利用角平分線定理得出DE=CD,即可得出結論;
(1)先判斷出∠DCQ=∠ECP,進而判斷出△CQD≌△CPE,得出DQ=PE,即可得出結論;
(2)①依題意即可補全圖形;②同(1)的方法即可得出結論.
∵CD⊥OA,
∴∠ODC=90°,
在Rt△ODC中,CD=3,OC=5,
∴OD==4,
∵點C是∠AOB的平分線上的點,
∴DE=CD=3,
同理,OE=4,
∴OD+OE=4+4=8,
故答案為8;
(1)上述結論成立,理由:如圖2,過點C作CQ⊥OA于Q,CP⊥OB于P,
∴∠OQC=∠EPC=90°,
∴∠AOB+∠POQ=180°,
由旋轉知,∠AOB+∠DOE=180°,
∴∠POQ=∠DOE,
∴∠DCQ=∠ECP,
∵點C是∠AOB的平分線上,且CQ⊥OA,CP⊥OB,
∴CQ=CP,
∵∠OQC=∠EPC=90°,
∴△CQD≌△CPE(ASA),
∴DQ=PE,
∵OD=OQ﹣DQ,OE=OP+PE,
∴OD+OE=OQ﹣DQ+OP+PE=OQ+OP=8;
(2)①補全圖形如圖3
②上述結論不成立,OE﹣OD=8,
理由:過點C作CQ⊥OA于Q,CP⊥OB于P,
∴∠OQC=∠EPC=90°,
∴∠AOB+∠POQ=180°,
由旋轉知,∠AOB+∠DOE=180°,
∴∠POQ=∠DOE,
∴∠DCQ=∠ECP,
∵點C是∠AOB的平分線上,且CQ⊥OA,CP⊥OB,
∴CQ=CP,
∵∠OQC=∠EPC=90°,
∴△CQD≌△CPE(ASA),
∴DQ=PE,
∵OD=DQ﹣OQ,OE=OP+PE,
∴OE﹣OD=OP+PE﹣(DQ﹣OQ)=OP+PE﹣DQ+OQ=OP+OQ=8.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l1:y=kx+b(k≠0)與x軸、y軸分別交于A、B兩點,與直線l2:y=3x交于點C,其中點C的坐標為(,c),點B的坐標為(0,3).
(1)求點C的坐標;
(2)求直線l1的表達式;
(3)在x軸上有一點D(3,0),求△BCD的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】若關于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有實數根x1 , x2 , 且x1 x2有下列結論:①x1=2,x2=3;②m> ;③二次函數y=(x-x1)(x-x2)+m的圖象與x軸交點的坐標為(2,0)和(3,0).其中正確的結論是(填正確結論的序號)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】(探究活動)
(1)問題發(fā)現:如圖①,直線AB∥CD,E是AB與AD之間的一點,連接BE,CE,可以發(fā)現∠B+∠C=∠BEC.
請把下面的證明過程補充完整:
證明:過點E作EF∥AB,
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(輔助線的作法),
∴EF∥DC( )
∴∠C=∠CEF.( )
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同理),
∴∠B+∠C= (等量代換)
即∠B+∠C=∠BEC.
(2)拓展探究:如果點E運動到圖②所示的位置,其他條件不變,試探究∠B、∠C、∠BEC的數量關系并證明;
(3)解決問題:如圖③,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,則∠A= .(直接寫出結論,不用寫計算過程)
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,AB=2,N為AB上一點,且AN=1,AD=,∠BAC的平分線交BC于點D,M是AD上的動點,連接BM、MN,則BM+MN的最小值是( 。
A. B. 2C. 1D. 3
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【題目】平面直角坐標系xOy中,對于點P(a,b),若點P′的坐標為(a ,ka+b)(其中k為常數,且k≠0),則稱點P′為點P的“k關聯(lián)點”.
(1)求點P(﹣2,3)的“2關聯(lián)點”P′的坐標;
(2)若a、b為正整數,點P的“k關聯(lián)點”P′的坐標為(3,6),求出k及點P的坐標;
(3)如圖,點Q的坐標為(0,4 ),點A在函數y=﹣ (x<0)的圖象上運動,且點A是點B的“﹣ 關聯(lián)點”,當線段BQ最短時,求B點坐標.
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【題目】霧霾天氣嚴重影響市民的生活質量.在去年寒假期間,某校八年級一班的綜合實踐小組同學對“霧霾天氣的主要成因”隨機調查了所在城市部分市民.并對調查結果進行了整理.繪制了如圖不完整的統(tǒng)計圖表.觀察分析并回答下列問題.
組別 | 霧霾天氣的主要成因 | 百分比 |
A | 工業(yè)污染 | 45% |
B | 汽車尾氣排放 | m |
C | 爐煙氣排放 | 15% |
D | 其他(濫砍濫伐等) | n |
(1)本次被調查的市民共有多少人?
(2)求m、n的值,并計算圖2中區(qū)域B所對應的扇形圓心角的度數;
(3)若該市有100萬人口,請估計持有A、B兩組主要成因的市民有多少人?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知A(a,0),B(b,0),C(﹣1,2),且.
(1)求a,b的值;
(2)y軸上是否存在一點M,使△COM的面積是△ABC的面積的一半,求點M的坐標.
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