Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM=4，E為 BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F． FE與DC的延長線相交于點G，連結(jié)DE，DF．．

（1） 求證：ΔBEF ∽ΔCEG．

（2） 當(dāng)點E在線段BC上運動時，△BEF和△CEG的周長之間有什么關(guān)系？并說明你的理由．

（3）設(shè)BE＝x，△DEF的面積為 y，請你求出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時,y有最大值，最大值是多少？

【解】

Answer 1

因為四邊形ABCD是平行四邊形， 所以AB=DG ················· 1分

  所以

所以 ·························· 3分

（2）的周長之和為定值．················· 4分

理由一：

過點C作FG的平行線交直線AB于H ，

因為GF⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH

因此，的周長之和等于BC＋CH＋BH 

由  BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，所以BC＋CH＋BH＝24 ····· 8分

理由二：

由AB＝5，AM＝4，可知   

在Rt△BEF與Rt△GCE中，有：

，

所以，△BEF的周長是， △ECG的周長是

又BE＋CE＝10，因此的周長之和是24．············ 8分

（3）設(shè)BE＝x，則

所以 ········· 11分

配方得：．

所以，當(dāng)時，y有最大值．····················· 13分

最大值為．······························ 14分