Question

如圖，正方形AOCB的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，E是AB的中點(diǎn)．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)C、E的坐標(biāo)；
（2）求直線EC的解析式；
（3）若點(diǎn)P是直線EC在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，圖中存在與△AOP全等的三角形？請(qǐng)畫(huà)出所有符合條件的圖形，說(shuō)明全等的理由，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)來(lái)求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，由E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)求其橫坐標(biāo)是正方形邊長(zhǎng)AB4的一半，縱坐標(biāo)是正方形邊長(zhǎng)AO的長(zhǎng)度4；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答．設(shè)直線EC的解析式為：y=kx+b（k≠0），然后將C、E兩點(diǎn)代入，由待定系數(shù)法求解析式即可；
（3）要使所求的三角形與△AOP全等，當(dāng)P與點(diǎn)E、C重合時(shí)，或點(diǎn)P在∠AOC的角平分線與EC的交點(diǎn)時(shí)．

解答：解：（1）C（4，0）、E（2，4）；

（2）設(shè)直線EC的解析式為：y=kx+b（k≠0）．
∵點(diǎn)C（4，0）、E（2，4）在該函數(shù)圖象上，
∴點(diǎn)C（4，0）、E（2，4）滿足該函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），
∴

0=4k+b 4=2k+b

，
解得，

k=-2 b=8

，
∴直線EC的解析式為：y=-2x+8；

（3）當(dāng)P與點(diǎn)E、C重合時(shí)，或點(diǎn)P在∠AOC的角平分線與EC的交點(diǎn)時(shí)，圖中存在與△AOP全等的三角形（如圖所示）；
證明：①當(dāng)P與點(diǎn)E重合時(shí)．
在△AOE和△ECB中，
AO=BC（正方形的邊長(zhǎng)都相等），
AE=BE（E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)），
∠OAE=∠CBE=90°（正方形的四個(gè)角都是直角），
∴△AOE≌△ECB，即△AOP≌△PCB（HL）；
此時(shí)P（2，4）；
②當(dāng)P與點(diǎn)C重合時(shí)，不符合題意；
③當(dāng)點(diǎn)P在∠AOC的角平分線與EC的交點(diǎn)時(shí)．
在△AOP與△COP中，
OA=OC（正方形的邊長(zhǎng)），
OP=PO（公共邊），
∠AOP=∠COP，
∴△AOP≌△COP（SAS）；
∴PA=PC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）；
∵點(diǎn)P在直線EC上，
∴設(shè)P（x，-2x+8），
∴x²+（-2x+4）²=（x-4）²+（-2x+8）²，
解得，x=

8

3

；
∴-2x+8=

8

3

，
∴P（

8

3

，

8

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)綜合題．本題需利用待定系數(shù)法和全等三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，另外本題也是一道綜合性較強(qiáng)的題目，解決這類(lèi)問(wèn)題常用到分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．