Question

如圖所示是二次函數(shù)y=-x²+4x圖象上的一段，其中0≤x≤4、若矩形ABCD的兩個頂點(diǎn)A，B落在x軸上，另外兩個頂點(diǎn)C，D落在函數(shù)圖象上，則矩形ABCD的周長能否恰好為8？若能，請求出C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：假設(shè)能，故可設(shè)周長恰好是8，令點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，則由y=-x²+4x可得頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

4

2×(-1)

=2，
故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2+（2-x）=4-x，AB=4-x-x=4-2x；
D點(diǎn)縱坐標(biāo)為-x²+4x，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-（4-x）²+4（4-x），
則有-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，解之得：x=0或2；則可推理得到結(jié)論：構(gòu)不成矩形．問題可求．

解答：解：假設(shè)周長恰好是8，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，
∵y=-x²+4x，
∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

4

2×(-1)

=2，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2+（2-x）=4-x，
∴AB=4-x-x=4-2x；
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為-x²+4x，
即AD=-x²+4x；
∴AD+AB=-x²+4x+（4-2x）=

1

2

×8，
∴x=0或2；
∴當(dāng)x=0時，-x²+4x=0，D和C點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，構(gòu)不成矩形．
∴當(dāng)x=2時，-x²+4x=4，只有一個最高點(diǎn)存在，同樣構(gòu)不成矩形，
綜合可知，與能構(gòu)成矩形矛盾，故不存在．

點(diǎn)評：此類問題的解答，可以用反證法去說明．假設(shè)結(jié)論成立或假設(shè)存在，據(jù)條件進(jìn)行合理的推導(dǎo)，進(jìn)而將問題解決．