Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線(xiàn)MN分別交BC，AB于點(diǎn)M，N，求證：CM=2BM．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根據(jù)直角三角形中30度的角對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得出BM=AM=CA即CM=2BM．
解答：證法1：如答圖所示，連接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴BM=AM，∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM，
∴CM=2BM．

證法二：如答圖所示，過(guò)A
作AD∥MN交BC于點(diǎn)D．
∵M(jìn)N是AB的垂直平分線(xiàn)，
∴N是AB的中點(diǎn)．
∵AD∥MN，
∴M是BD的中點(diǎn)，即BM=MD．
∵AC=AB，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAD=∠BNM=90°，
∴AD=BD=BM=MD，
又∵∠CAD=∠BAC-∠BAD
=120°-90°=30°，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=DC，BM=MD=DC，
∴CM=2BM．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．