Question

如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是________．

Answer 1

10
分析：先畫(huà)出圖形，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形．再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出△PQR=EF，再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出△EOF的形狀即可求解．
解答：解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°-θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長(zhǎng)一倍到E，即ME=PM，
作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長(zhǎng)一倍到F，即NF=PN，
連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長(zhǎng)最短的三角形，
∵OA是PE的垂直平分線(xiàn)，
∴EQ=QP；
同理，OB是PF的垂直平分線(xiàn)，
∴FR=RP，
∴△PQR的周長(zhǎng)=EF，
∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，
∴△EOF是正三角形，
∴EF=10，即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長(zhǎng)為10．
故答案為：10．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短距離問(wèn)題，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作出各點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即把求三角形周長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)段的長(zhǎng)解答．