Question

設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB•CD+AD•BC=AC•BD．（初三）

Answer 1

分析：在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC，于是可得AD•BC=BE•AC，又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

AB

AC

=

DE

DC

，即AB•CD=DE•AC，兩式結(jié)合即可得到AB•CD+AD•BC=AC•BD．

解答：證明：在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC，
可得：

BE

BC

=

AD

AC

，即AD•BC=BE•AC，①
又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，
即得

AB

AC

=

DE

DC

，即AB•CD=DE•AC，②
由①+②可得：AB•CD+AD•BC=AC（BE+DE）=AC•BD，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是在BD上取一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD，此題難度一般．