Question

（2007•湖州）在8×8的正方形網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底，且腰長為無理數(shù)的等腰三角形．
（1）填空：C點(diǎn)的坐標(biāo)是______，△ABC的面積是______；
（2）將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到△A₁B₁C₁，連接AB₁、BA₁，試判斷四邊形AB₁A₁B是何種特殊四邊形，請說明理由；
（3）請?zhí)骄浚涸趚軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形ABOP的面積等于△ABC面積的2倍？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不必寫出解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）此點(diǎn)應(yīng)在AB的垂直平分線上，在第一象限，腰長又是無理數(shù)，只有是點(diǎn)（1，1），從A，B向x軸引垂線，把所求的三角形的面積分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形的面積減去一個(gè)直角三角形的面積．
（2）旋轉(zhuǎn)180°后可得新四邊形的對角線互相平分，那么先判斷是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到對角線相等，那么所求的四邊形是矩形．
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合（1）中的方法解答．
解答：解：（1）（1，1），4；

（2）四邊形AB₁A₁B是矩形．
∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四邊形AB₁A₁B是矩形

（3）∵S_△ABC=S_梯形ABDE+S_矩形BDCF-（S_△AEC+S_△BCF）=×（1+3）×2+3×1-×1×3-×1×3=4，
∴四邊形ABOP的面積等于8．
同（1）中的方法得到三點(diǎn)A，B，O構(gòu)成的面積為6．當(dāng)P在O左邊時(shí)，△APO的面積應(yīng)為2，高為4，那么底邊長為1，所以P（-1，0）；
當(dāng)P在O右邊時(shí)，△BOP的面積應(yīng)為2，高為2，所以底邊長為2，此時(shí)P坐標(biāo)為（2，0）．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），（-1，0）．
點(diǎn)評：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．對角線互相平分且相等的四邊形是平行四邊形．