Question

如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過D作MN⊥AC于點M，交AB的延長線于點N，過點B作BG⊥MN于G．
（1）求證：△BGD∽△DMA；
（2）求證：直線MN是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)垂直定義得出∠BGD=∠DMA=90°，由圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、對頂角性質(zhì)及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明△BGD∽△DMA；
（2）連結(jié)OD．由三角形中位線的性質(zhì)得出OD∥AC，MN⊥AC，可得OD⊥MN，然后根據(jù)切線的判定定理即可證明直線MN是⊙O的切線．

解答：證明：（1）∵MN⊥AC于點M，BG⊥MN于G，
∴∠BGD=∠DMA=90°．
∵以AB為直徑的⊙O交BC于點D，
∴AD⊥BC，∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠CDM=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，
∴∠DBG=∠ADM．
在△BGD與△DMA中，∠BGD=∠DMA=90°，
∠DBG=∠ADM．
∴△BGD∽△DMA；

（2）連結(jié)OD．
∵BO=OA，BD=DC，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直線MN是⊙O的切線．

點評：本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連結(jié)圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．