Question

1．如圖，△ABC、△DCE、△FEG是全等的三個(gè)等腰三角形，底邊BC、CE、EG在同一直線上，且AB=$\sqrt{3}$，BC=1，連接BF交AC、DC、DE分別為P、Q、R．
（1）試證△BFG∽△FEG．
（2）求AP：PC．

Answer 1

分析 （1）已知三個(gè)全等的等腰三角形，以及邊長(zhǎng)，所以可求得各線段的長(zhǎng)，即可求得線段的比值，由公共角即可證得△BFG∽△FEG；
（2）利用△BPC～△BFG求得PC的長(zhǎng)，進(jìn)而可知AP的長(zhǎng)，即可得答案．

解答 解：（1）據(jù)題意知BC=CE=EG=1，BG=3，F(xiàn)G=AB=$\sqrt{3}$，
在△BFG和△FEG中，
∵$\frac{FG}{EG}=\frac{BG}{FG}=\sqrt{3}$，∠G=∠G
∴△BFG∽△FEG；
（2）∵△ABC≌△FEG，
∴∠ACB=∠G，
∴PC∥FG，
∴△BPC～△BFG，
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{FG}{BG}$，即$\frac{PC}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=AB=$\sqrt{3}$，
∴AP=AC-PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)運(yùn)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．