Question

如圖，在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D．點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為每秒1cm；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，速度為每秒2cm，設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為x秒．
（1）求當(dāng)x為何值時(shí)，PQ⊥AC，當(dāng)x為何值時(shí)，PQ⊥AB．
（2）設(shè)△PQD的面積為y（cm²），當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求證：AD平分△PQD的面積．

Answer 1

分析：（1）若使PQ⊥AC，則根據(jù)路程=速度×?xí)r間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；
（2）根據(jù)CQ=2x，∠C=60°，得出QE=CQ•sin60°=

3

x，進(jìn)而求出面積即可；
（3）根據(jù)三角形的面積公式，要證明AD平分△PQD的面積，只需證明O是PQ的中點(diǎn)．再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明；

解答：（1）解：當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP=x，CQ=2x，PC=4-x；
∵AB=BC=CA=4，
∴∠C=60°；
若PQ⊥AC，則有∠QPC=30°，
∴PC=2CQ，
∴4-x=2×2x，
∴x=

4

5

；
當(dāng)Q在AB上時(shí)，由題意得，BP=x，AQ=2x-4，則BQ=4-（2x-4）=8-2x，
∵AB=BC=CA=4，∴∠B=60°；
若PQ⊥AB，則有∠QPB=30°，∴PB=2BQ，∴x=2（8-2）x，
解得：x=

16

5

（滿足條件2≤x≤4），
即當(dāng)x=

16

5

時(shí)，PQ⊥AB；

（2）解：作QE⊥DC于E，
∵當(dāng)0＜x＜2時(shí)，
CQ=2x，∠C=60°，
∴QE=CQ•sin60°=

3

x，
PD=2-x，
∴△PQD的面積為：y=

1

2

×PD×EQ=

1

2

（2-x）•

3

x=-

3

2

x²+

3

x；

（3）證明：當(dāng)0＜x＜2時(shí)，點(diǎn)P在BD上，在△QPC中，QC=2x，∠C=60°；
∵QE⊥DC，
∴EC=

1

2

QC=x，
∴BP=EC，
∵BD=CD．
∴DP=DE；
∵AD⊥BC，QE⊥BC，
∴∠ADC=∠QEC，
∴AD∥QE，
∴OP=OQ，
∴S_△PDO=S_△DQO，
∴AD平分△PQD的面積；

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積求法，綜合運(yùn)用了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及直線和圓的位置關(guān)系求解．解題的關(guān)鍵是用動點(diǎn)的時(shí)間x和速度表示線段的長度，本題有一定的綜合性，難度中等．