Question

設(shè)關(guān)于x的二次方程（a-1）x²-（a²+a+1）x+2a²+a=0當a

 

時，此方程至少有一個正整數(shù)解；當a

 

時，此方程有兩個正整數(shù)解；當a

 

時，此方程有兩個負整數(shù)解．

Answer 1

分析：運用十字相乘法分解一元二次方程，然后得出方程的根，利用特殊值法可以解決方程有兩個負整數(shù)解以及方程有兩個正整數(shù)解的情況．

解答：解：原方程變形為[（a-1）x-（2a+1）]（x-a）=0
當a=1時，原方程只有一個根x=a；當a≠1時，其二根為x1=a，x2=

2a+1

a-1

，因此，
（1）當a為任何正整數(shù)時，方程至少有一個正整數(shù)根，
（2）要使方程二根均為正整數(shù)，由于x2=

2a+1

a-1

=

(2a-2)+3

a-1

=2+

3

a-1

，所以，當a為正整數(shù)，只要3能被a-1整除，則x₂是正整數(shù)，故只須取a=2或a=4即可，當a=2時，方程有兩個正整數(shù)根x₁=2，x₂=5；
當a=4時，方程有兩個正整數(shù)根x₁=4，x₂=3；
（3）當x₁=a為負整數(shù)時，由a-1＜0，2a+1＜0，∴x2=

2a+1

a-1

＞0，為正數(shù)，∴無論a取何值，方程兩根不會是負整數(shù)．

點評：此題主要考查了十字相乘法解一元二次方程，綜合性較強，難度較大，題目比較典型．