如圖:在△ABC中,BC=2AB=4,AD為邊BC上的中線,E、F分別為BC、AB上的動(dòng)點(diǎn),且CE=BF,EF與AD交于點(diǎn)G.FH⊥AG于H
(1)①如圖1,當(dāng)∠B=90°時(shí),F(xiàn)G
=
=
EG;GH=
2
2

②如圖2,當(dāng)∠B=60°時(shí),F(xiàn)G
=
=
EG;GH=
1
1

③如圖3,當(dāng)∠B=α?xí)r,F(xiàn)G
=
=
EG;GH=
1
2
AD
1
2
AD

請(qǐng)你先填上空,再?gòu)囊陨先齻(gè)命題中任選擇一個(gè)進(jìn)行證明
(2)如圖4,若(1)中的點(diǎn)E、F分別在BC、AB的延長(zhǎng)線上,試問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立.若成立,請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)①由條件可以求出AB=BD,AF=DE,從而得出∠BAD=∠BDA=45°,求出AD的值,作FQ∥BC,利用平行線的性質(zhì)得出AF=FQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出AH=HQ,可以證明△FQG≌△EDG,F(xiàn)G=EG,通過(guò)計(jì)算可以求出GH=
2

②)由條件可以求出AB=BD,AF=DE,從而得出∠BAD=∠BDA=60°,求出AD的值,作FR∥BC,利用平行線的性質(zhì)得出AF=FR,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出AH=HR,可以證明△FRG≌△EDG,F(xiàn)G=EG,通過(guò)計(jì)算可以求出GH=1.
③)由條件可以求出AB=BD,AF=DE,從而得出∠BAD=∠BDA=45°,求出AD的值,作FS∥BC,利用平行線的性質(zhì)得出AF=FS,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出AH=HS,可以證明△FSG≌△EDG,F(xiàn)G=EG,通過(guò)計(jì)算可以求出GH=
1
2
AD.
(2)作EM⊥AD的延長(zhǎng)線于M,由條件可以知道∠1=∠3,有∠2=∠3,AF=DE,可以證明Rt△AHF≌△EMD,得出FH=EM,進(jìn)而可以得出△FHG≌△EMG,HG=GM,F(xiàn)G=GE,進(jìn)而得出GH=
1
2
AD.
解答:解:(1)①∵AD為邊BC上的中線,
∴BD=DC=
1
2
BC,
∵BC=2AB=4,
∴BD=DC=AB=2,
∴∠BAD=∠BDA.
∵∠B=90°,
∴由勾股定理,得AD=2
2
,
作FQ∥BC,交AD于Q,
∴∠BDA=∠AQF,
∴∠BAD=∠AQF,
∴AF=FQ,
∵FH⊥AG,
∴AH=HQ,
∵CE=BF,
∴AF=DE,
∴△FQG≌△EDG,
∴FG=EG,QG=GD,
∵AH=HQ,
∴HG=
1
2
AD=
2
,
②∵AD為邊BC上的中線,
∴BD=DC=
1
2
BC,
∵BC=2AB=4,
∴BD=DC=AB=2,
∵∠B=60°,
∴△AFR是等邊三角形,
∴AD=2,
作FR∥BC,交AD于Q,
∴∠BDA=∠ARF,∠FGR=∠GDE,∠FGR=∠DGE,
∴∠BAD=∠ARF,
∴AF=FR,
∵FH⊥AG,
∴AH=HR,
∵CE=BF,
∴AF=DE,
∴△FRG≌△EDG,
∴FG=EG,RG=GD,
∵AH=HR,
∴HG=
1
2
AD=1,
③∵AD為邊BC上的中線,
∴BD=DC=
1
2
BC,
∵BC=2AB=4,
∴BD=DC=AB=2,
∴∠BAD=∠BDA
作FS∥BC,交AD于Q,
∴∠BDA=∠ASF,∠FGS=∠GDE,∠FGS=∠DGE,
∴∠BAD=∠ASF,
∴AF=FS,
∵FH⊥AG,
∴AH=HS,
∵CE=BF,
∴AF=DE,
∴△FSG≌△EDG,
∴FG=EG,SG=GD,
∵AH=HS,
∴HG=
1
2
AD,

(2)∵AD為邊BC上的中線,
∴BD=DC=
1
2
BC,
∵BC=2AB=4,
∴BD=DC=AB=2,
∴∠1=∠3,
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3
∵CE=BF,
∴AF=ED,
作EM⊥AD的延長(zhǎng)線于M,
∴∠M=90°,
∵FH⊥AG,
∴∠AHF=∠GHF=∠M=90°,
∴Rt△AHF≌△EMD
∴FH=EM,
∵∠FGH=∠EGM,
∴△FHG≌△EMG,
∴HG=GM,F(xiàn)G=GE
∵AD=DM+HD,
∴AD=DG+GM+HD,
∴AD=DG+HD+DG+HD,
∴AD=2(DG+HD)
∴AD=2HG
即HG=
1
2
AD.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的角平分線、高、中線的性質(zhì),平行線的性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用.
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( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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16
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