Question

如圖：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是斜邊BC的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且AE=CF．求證：①△AED≌△CFD；②△DEF為等腰直角三角形．
（2）如圖2，點(diǎn)F、E分別D在CA、AB的延長線上，且AE=CF，猜想△DEF是否為等腰直角三角形？如果是請給出證明．

Answer 1

分析：（1）①利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=DC，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出答案；
②利用全等三角形的性質(zhì)得出DE=DF，∠ADE=∠CDF進(jìn)而得出△DEF為等腰直角三角形；
（2）首先利用已知得出AD=BD=DC，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△AED≌△CFD．

解答：（1）證明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠DAC AD=DC

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；

②∵△AED≌△CFD，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF+∠ADF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）△DEF為等腰直角三角形，
理由：∵∠BAC=90° AB=AC，D為BC中點(diǎn)
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=DC，
∵在△AED和△CFD中，

AE=CF ∠EAD=∠C AD=CD

，
∴△AED≌△CFD（SAS）；   
∴DE=DF∠ADE=∠CDF，
又∵∠CDF-∠ADF=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出AD=BD=DC是解題關(guān)鍵．