Question

已知二次函數(shù)y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求證：拋物線y=x²–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,若，求拋物線的表達(dá)式；

（3）以（2）中的拋物線上一點(diǎn)P（m,n）為圓心，1為半徑作圓，直接寫(xiě)出：當(dāng)m取何值時(shí)，x軸與相離、相切、相交.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)或時(shí)，x軸與相離.；

當(dāng)或或時(shí)，x軸與相切； 當(dāng)或時(shí)，x軸與相交.

【解析】

試題分析：（1）令y=0，得到一個(gè)關(guān)于字母x的一元二次方程，求出此方程的判別式的值為，根據(jù)k>2，可得，即可得到答案.

（2）令，有；解得：. 根據(jù)k的取值以及點(diǎn)A、B的位置確定 ；由拋物線與y軸交于點(diǎn)C得：；根據(jù)Rt中∠OAC的正切值求得k的取值，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式.（3）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系是由圓心到直線的距離和圓的半徑確定的，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，即y=±1；根據(jù)相切時(shí)m的取值即可作出判斷，注意分類(lèi)討論.

試題解析：

（1）證明：∵，

又∵，

∴.

∴即. 

∴拋物線y = x² – kx + k - 1與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn).

(2) 解：∵拋物線y = x² – kx + k -1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，

∴令，有.

解得：. 

∵，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴.

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,

∴.

∵在Rt中, ,

 ∴,   解得.

∴拋物線的表達(dá)式為.

（3）解：當(dāng)或時(shí)，x軸與相離. 

當(dāng)或或時(shí)，x軸與相切.

當(dāng)或時(shí)，x軸與相交.

考點(diǎn)：1、根的判別式；2、求二次函數(shù)的解析式；3、直線與圓的位置關(guān)系.