Question

（本題滿分12分）已知拋物線交x軸于A(1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C，其頂點為D．

（1）求b、c的值并寫出拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，過點O作直線OE⊥BC交拋物線的對稱軸于點E．

求證：四邊形ODBE是等腰梯形；

（3）拋物線上是否存在點Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）x=2

（2）四邊形ODBE是等腰梯形，證明略。

（3）存在，理由略。

解析:

（1）求出：，，拋物線的對稱軸為：x=2     ……3分

(2) 拋物線的解析式為，易得C點坐標為（0，3），D點坐標為（2，-1）

設拋物線的對稱軸DE交x軸于點F，易得F點坐標為（2，0），連接OD，DB，BE

∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E點坐標為（2，2），

∴∠BOE= ∠OBD=   ∴OE∥BD

∴四邊形ODBE是梯形                           ……5分

在和中，

OD= ，BE=

∴OD= BE

∴四邊形ODBE是等腰梯形                      …7分

(3) 存在，                                            ………8分

由題意得：     ………9分

設點Q坐標為（x，y），

由題意得：=

∴

當y=1時，即，∴，，

∴Q點坐標為（2+，1）或(2-，1)               ……11分

當y=-1時，即，  ∴x=2，

∴Q點坐標為（2，-1）

綜上所述，拋物線上存在三點Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）

使得=．               ……12分