Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，點(diǎn)G，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∠AEF=90^o，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．

 （1）證明：∠BAE=∠FEC；

（2）證明：△AGE≌△ECF；

（3）求△AEF的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵∠AEF=90^o，

∴∠FEC+∠AEB=90^o

在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90^o，

∴∠BAE=∠FEC；

（2）證明：∵G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180^o－45^o=135^o．

又∵CF是∠DCH的平分線，

             ∠ECF=90^o+45^o=135^o

在△AGE和△ECF中，

 

            ∴△AGE≌△ECF；  

  （3）解：由△AGE≌△ECF，得AE=EF．

又∵∠AEF=90^o，

∴△AEF是等腰直角三角形

由AB=a，BE=a，知AE=a，

∴S_△AEF=a²

【解析】（1）由于∠AEF是直角，則∠BAE和∠FEC同為∠AEB的余角，由此得證；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證得AG=EC，∠AGE=∠ECF=135°；再加上（1）得出的相等角，可由ASA判定兩個(gè)三角形全等；

（3）在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理易求得AE²；由（2）的全等三角形知：AE=EF，即△AEF是等腰Rt△，因此其面積為AE²的一半，由此得解