Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），其中b＞a＞0，點(diǎn)C在第一象限，BA⊥BC，BA=BC，點(diǎn)F在線段OB上，OA=OF，AF的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)D，AB與CF交于點(diǎn)E．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：（b，a+b）（用含a，b的式子表示）；
（2）求證：∠BAF=∠BCE；
（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)為N．求證：M，N關(guān)于x軸對稱．

Answer 1

分析 （1）過C點(diǎn)作CP⊥y軸于點(diǎn)P，根據(jù)AAS證明△AOB≌△BPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)的性質(zhì)和等量代換即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)SAS證明△DAH≌△GAH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 （1）解：如圖1，過C點(diǎn)作CP⊥y軸于點(diǎn)P，
∵CP⊥y軸，
∴∠BPC=90°，
∴∠BPC=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBP=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBP=∠BAO，
在△AOB與△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AOB}\\{∠CBP=∠BAO}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BPC（AAS），
∴CE=OB=b，BE=OA=a，
∴OP=OB+BP=a+b，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（b，a+b），
故答案為：（b，a+b）；

（2）證明：∵△AOB≌△BPC，
∴BP=OA=OF，CP=BO，
∴FP=OB=CP，
∴∠PFC=45°，∠AFC=90°，
∴∠BAF=∠BCE；

（3）證明：如圖2，∵點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)為N，
∴AM=AC，AN=AC，
∴AM=AN，
∵∠1=∠5，∠1=∠6，
∴∠5=∠6，
在△MAH與△NAH中，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AM=AN}\\{∠5=∠6}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△MAH≌△NAH（SAS），
∴MH=NH，
∴M，N關(guān)于x軸對稱．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于直線對稱的性質(zhì)．關(guān)鍵是AAS證明△AOB≌△BEC，SAS證明△DAH≌△GAH．