Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，矩形A0BC的頂點B、A分別在x軸和y軸上，對角線AB的垂直平分線EF分別交y軸、x軸、AB、AC和BC的延長線于點E、M、P、N、F，對角線AB所在直線的解析式為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+3$．
（1）求點M、N的坐標；
（2）求多邊形AEMBFN（陰影部分）的周長．

Answer 1

分析 （1）先確定出點A，B坐標，用勾股定理求出AB，再用勾股定理求出MB，進而判斷出△APN≌△BPM，最后確定出AN=BM=2$\sqrt{3}$即可；
（2）先求出∠AEP=∠BFP=30°，進而求出AE=BF=6，EM=FN=2$\sqrt{3}$即可；

解答 （1）解：∵直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3
∴點A坐標（0，3）點B坐標（3$\sqrt{3}$，0）
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{C}^{2}}$=6
∴∠ABO=30°，∠BAO=60°
∵EF是AB的垂直平分線
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$AB=3
在Rt△BPM中，設MP=x，則MB=2x
∴x²+3²=（2x）²解的 x=$\sqrt{3}$（舍負）
∴MB=$2\sqrt{3}$
∴點M坐標為（$\sqrt{3}$，0）
在△APN和△BPM中$\left\{\begin{array}{l}{∠PAN=∠PBM}\\{PA=PB}\\{∠APN=∠BPM}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△BPM
∴AN=BM=2$\sqrt{3}$，
∴點N坐標為（2$\sqrt{3}$，3），
（2）由（1）知，∠ABO=30°，
∴∠BMF=60°，
∵∠FBM=90°，
∴∠BFM=30°，
∵OE∥BF
∴∠AEP=∠BFP=30°
∴AE=BF=6
∴EM=FN=2$\sqrt{3}$
∴多邊形AEMBFN的周長=6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$+6+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=12+8$\sqrt{3}$．

點評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了，中垂線，全等三角形的性質(zhì)和判定，求線段的長，解本題的關(guān)鍵是△APN≌△BPM．