Question

20．如圖1，我們現(xiàn)給出如下結(jié)論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”圖形語(yǔ)言說(shuō)明：在Rt△ABC中，∠C=90°．由CP是中線．可得CP=$\frac{1}{2}$AB，請(qǐng)結(jié)合上述結(jié)論解決如下問(wèn)題：
已知，點(diǎn)P是△ABC邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合）分別過(guò)點(diǎn)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為邊AB的中點(diǎn)．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是QE=QF
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并寫(xiě)出主要證明思路．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS推出△AEQ≌△BFQ即可得出答案；
（2）延長(zhǎng)EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可；
（3）延長(zhǎng)EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EQ=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中點(diǎn)性質(zhì)得出即可

解答 解：
（1）如圖1，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE∥BF，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是AE=BF，
理由：
∵Q為AB的中點(diǎn)，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQF}\\{∠AEQ=∠BFQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF；
（2）
QE=QF，
證明：如圖2，延長(zhǎng)EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQD}\\{∠AEQ=∠BDQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BDQ（AAS），
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論成立，
證明：延長(zhǎng)EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQD}\\{∠AEQ=∠BDQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BDQ（AAS），
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)平行線的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用等．解此題的關(guān)鍵是求出△AEQ≌△BDQ，本題考查知識(shí)點(diǎn)較基礎(chǔ)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．