Question

20．如圖1，我們現給出如下結論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”圖形語言說明：在Rt△ABC中，∠C=90°．由CP是中線．可得CP=$\frac{1}{2}$AB，請結合上述結論解決如下問題：
已知，點P是△ABC邊AB上一動點（不與A，B重合）分別過點A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為邊AB的中點．
（1）如圖2，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是QE=QF
（2）如圖3，當點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數量關系，并給予證明；
（3）如圖4，當點P在線段BA的延長線上時，此時（2）中的結論是否成立？請畫出圖形并寫出主要證明思路．

Answer 1

分析 （1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ即可得出答案；
（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可；
（3）延長EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EQ=QD，根據直角三角形斜邊上中點性質得出即可

解答 解：
（1）如圖1，

當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是AE=BF，
理由：
∵Q為AB的中點，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQF}\\{∠AEQ=∠BFQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BFQ（AAS），
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF；
（2）
QE=QF，
證明：如圖2，延長EQ交BF于D，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQD}\\{∠AEQ=∠BDQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BDQ（AAS），
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；
（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結論成立，
證明：延長EQ交FB于D，如圖3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AQE=∠BQD}\\{∠AEQ=∠BDQ}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$
∴△AEQ≌△BDQ（AAS），
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．

點評 本題為三角形的綜合應用，涉及知識點平行線的性質和判定、全等三角形的性質和判定、直角三角形的性質的應用等．解此題的關鍵是求出△AEQ≌△BDQ，本題考查知識點較基礎，綜合性較強，但難度不大．