Question

如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)D作CD∥AO交⊙O于點(diǎn)C，AC與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）試探究CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）猜想線段CD、AO、BD之間的關(guān)系．
（3）若CE=4，DE=2，求sin∠ECD．

Answer 1

解：（1）CE與⊙O相切．
理由：連接OC，
∵CD∥OA，
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠AOB=∠AOC．
∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，
∴△AOC≌△AOB．
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB與⊙O相切，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
∴CE與⊙O相切；

（2）BD²=2AO•DC
證明：∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO．
∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，
∴=，
∵OB=BD
∴BD²=AO•DC
即BD²=2AO•DC；

（3）設(shè)⊙O的半徑為x，由（1）知CE是⊙O的切線，
∴∠ECO=90°，
∴△CEO為直角三角形，
∴CE²+OC²=OE²，
即16+x²=（x+2）²
解得：x=3，
∵∠ECO=90°，
∴∠ECD+∠DCO=90°
∵DB是直徑，
∴∠DCB=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∵CO=CD，
∴∠DCO=∠CDB，
∴∠ECD=∠CBD，
∴sin∠ECD=sin∠CBD，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EBC，
∴=，
∴sin∠CBD===，
∴sin∠ECD=sin∠CBD=．
分析：（1）CE與⊙O相切，連接OC證明∠ACO=90°即可；
（2）BD²=2AO•DC．連接BC，由題可知求線段CD、AO、BD之間的關(guān)系式，可以通過△BDC∽△AOB的比例關(guān)系式得出；
（3）由已知條件可證明∠ECD=∠CBD，所以sin∠ECD=sin∠CBD，在直角三角形DCB中求出sin∠CBD的值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．平行線的判斷，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及圓周角定理．利用圓周角定理解答問題時(shí)，經(jīng)常通過作輔助線構(gòu)建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理來解答．