Question

某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12米的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)為每平方米1000元；設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x米，面積為S平方米．
（1）求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量X的取值范圍；
（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)費(fèi)用；
（3）為使廣告牌美觀、大方，要求做成黃金矩形，請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)，并計(jì)算出可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)是多少（精確到元）．
參考資料：①當(dāng)矩形的長(zhǎng)是寬與（長(zhǎng)+寬）的比例中項(xiàng)時(shí)，這樣的矩形叫做黃金矩形；②

5

≈2.236．

Answer 1

分析：（1）有矩形的周長(zhǎng)，那么可根據(jù)周長(zhǎng)表示出矩形的另一邊長(zhǎng)，然后用矩形的面積公式即可得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）可根據(jù)（1）得出的函數(shù)的性質(zhì)來確定設(shè)計(jì)費(fèi)最多的方案．
（3）本題的關(guān)鍵是求出矩形兩邊的長(zhǎng)，那么可根據(jù)題中給出的黃金矩形的計(jì)算公式以及矩形的周長(zhǎng)來聯(lián)立方程組，從而得出設(shè)計(jì)成黃金矩形時(shí)，矩形的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而求出矩形的面積，根據(jù)每平米的設(shè)計(jì)費(fèi)，就能求出此時(shí)獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)．

解答：解：（1）S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=x（6-x）=-x²+6x，（0＜x＜6）．

（2）S=-x²+6x=-（x-3）²+9．
即：矩形廣告牌設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)3米的正方形時(shí)，矩形的面積最大．為9平方米；
此時(shí)可獲得最多設(shè)計(jì)費(fèi)，為9×1000=9000（元）．

（3）設(shè)此黃金矩形的長(zhǎng)為x米，寬為y米．則由題意可知：

x2=y(x+y) x+y=6

解得：

x=3 5 -3 y=9-3 5

（x=-3

5

-3不合題意，舍去）
即：當(dāng)把矩形的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為（3

5

-3）米時(shí)．此矩形將成為黃金矩形．
此時(shí)S=xy=（3

5

-3）（9-3

5

）=36（

5

-2）
可獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)為36（

5

-2）×1000≈8496元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找出合適的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．