Question

13．如圖，在⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CF與OB交于點E，過點F，A分別作⊙O的切線交于點H，且HF與AB的延長線交于點D．
（1）求證：DF=DE；
（2）若tan∠OCE=$\frac{1}{2}$，⊙O的半徑為4，求AH的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OF，如圖，由切線性質(zhì)得∠1+∠2=90°，再由OC⊥AB得∠C+∠4=90°，然后利用等量代換得到∠1=∠3，則根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）在Rt△OEC中利用正切定義求出OE=$\frac{1}{2}$OC=2，設(shè)DF=x，則DE=x，根據(jù)勾股定理得到x²+4²=（x+2）²，解得x=3，再利用切線長定理和切線性質(zhì)得到HF=HA，DA⊥AH，設(shè)AH=t，則HF=t，則根據(jù)勾股定理得到t²+9²=（t+3）²，然后解方程即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OF，如圖，
∵DH為切線，
∴OF⊥DH，
∴∠1+∠2=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠C+∠4=90°，
∵OF=OC，
∴∠2=∠C，
而∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∴DE=DF；
（2）解：在Rt△OEC中，∵tan∠OCE=$\frac{OE}{OC}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$OC=2，
設(shè)DF=x，則DE=x，
在Rt△OFD中，x²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴DF=3，DO=5，
∵HF和HA為切線，
∴HF=HA，DA⊥AH，
設(shè)AH=t，則HF=t，
在Rt△DAH中，t²+9²=（t+3）²，解得t=12，
即AH的長為12．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．靈活應(yīng)用勾股定理是解決（2）小題的關(guān)鍵．