Question

如圖，在半徑是4的⊙O中，點(diǎn)Q為優(yōu)弧的中點(diǎn)，圓心角∠MON=60°，點(diǎn)P在（M點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P到弦MN的距離為x，△OMN的面積是S．
（1）求弦MN的長；
（2）試求陰影部分面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）試分析比較，當(dāng)自變量x為何值時(shí)，陰影部分面積y與S的大小關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∵OM=ON，∠MON=60°
∴△MON是等邊三角形
∴MN=ON=4

（2）作OH⊥MN于H點(diǎn)，∴MH=MN=2
y=S_△PMN=4x，即y=2x
在Rt△OHM中，OH²=OM²-MH²
∴OH=2
∴0＜x≤4+2

（3）△OMN的面積S=4
令y=s，即2x=4
∴x=2
當(dāng)x=2時(shí)，y=s
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y＜s
當(dāng)2時(shí)，y＞s．
分析：（1）根據(jù)∠MON的度數(shù)，我們可得出三角形MON應(yīng)是個(gè)等邊三角形，那么MN的長就是半徑的長．
（2）在（1）中已經(jīng)求得了MN的長，又知道了P到MN的距離也就是MN上的高，那么可根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式得出y，x的函數(shù)關(guān)系式．如果過O作OH⊥NM于H，那么x的最大值就是OH+半徑的長，那么可在直角三角形OMH中求出OH的長也就求出了x的取值范圍．
（3）先計(jì)算出三角形OMN的面積，然后根據(jù)y與S的大小關(guān)系的不同得出不同的自變量的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了等邊三角形的判定，垂徑定理等知識點(diǎn)．