Question

如圖所示，P為△ABC中BC邊的垂直平分線上的一點，且∠PBG＝∠A，BP、CP分別交AC、AB于點D、E．求證：BE＝CD．

Answer 1

答案：
解析：

證明：作BM⊥CE于M，CN⊥BD于N， 　　∴∠BMP＝∠CNP＝． 　　∵PG為BC的垂直平分線， 　　∴PB＝PC 　　∴△MPB＝∠NPC， 　　∴△MPB≌△NPC(AAS)， 　　∴BM＝CN．(本題要求證明的兩條線段的相等關(guān)系一般利用三角形全等可以得出結(jié)論．) 　　∴PB＝PC， 　　∴∠PBG＝∠PCG， 　　∴∠MPB＝∠PBG＋∠PCG 　　＝2∠PBG． 　　∵∠PBG＝∠A， 　　∴∠MPB＝∠A， 　　∴∠MEB＝∠MPB＋∠PBE 　�。健�A＋∠PBE 　�。健�NDC． 　　∵BM＝CN， 　　∠BME＝∠CND＝， 　　∠MEB＝∠NDC， 　　∴△MEB≌△NDC(AAS)， 　　∴BE＝CD．

提示：

注：本題在證明三角形全等時可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)論中的兩條線段所在的三角形△BEP和△CDP不可能全等，所以需添加輔助線構(gòu)造新的全等三角形．通過運用垂直平分線的性質(zhì)，并結(jié)合已知角的關(guān)系，給題目的證明提供了條件．