Question

如圖，A、B是兩座現(xiàn)代化城市，C是一個(gè)古城遺址，C城在A城的北偏東30°，在B城的北偏西45°，且C城與A城相距120千米，B城在A城的正東方向，以C為圓心，以60千米為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有古跡和地下文物，現(xiàn)要在A、B兩城市修建一條筆直的高速公路．
（1）請(qǐng)你計(jì)算公路的長(zhǎng)度（保留根號(hào)）；
（2）請(qǐng)你分析這條公路有沒有可能對(duì)文物古跡造成損毀，并說明理由．

Answer 1

解：作CD⊥AB于D點(diǎn)．
（1）在Rt△ACD中，
CD=AC•sin60°=120×=60，AD=AC•cos60°=120×=60，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan45°=60×1=60，
所以AB=AD+DB=60+60（km）；

（2）不可能．因?yàn)镃D=60＞60，所以不可能對(duì)文物古跡造成損毀．
分析：（1）根據(jù)題意知△ABC中，∠CAB=60°，∠ABC=45°，AC=120，求AB長(zhǎng)；
（2）根據(jù)“化斜為直”的原則，作CD⊥AB于D點(diǎn)，通過解直角三角形求解；比較CD與60的大小得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：“化斜為直”是解三角形的常規(guī)思路，需作垂線（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）．