Question

7．已知關(guān)于x的方程$\frac{1}{4}$x²-（m-2）x+m²=0的兩根為x₁，x₂
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)x₁²-x₂²=0時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）由x₁²-x₂²=0得x₁+x₂=0或x₁-x₂=0；當(dāng)x₁+x₂=0時(shí)，運(yùn)用兩根關(guān)系可以得到4（m-2）=0或方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，據(jù)此即可求得m的值．

解答 解：（1）由題意有△=[-（m-2）]²-4×$\frac{1}{4}$m²≥0，
解得m≤1，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤1；

（2）由兩根關(guān)系，得根x₁+x₂=4（m-2），x₁•x₂=4m²，
由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
若x₁+x₂=0，即4（m-2）=0，解得m=2，
∵m≤1，
∴m=2不合題意，舍去，
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂，
∴△=0，由（1）知m=1，
故當(dāng)x₁²-x₂²=0時(shí)，m=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩根關(guān)系得出的結(jié)果必須滿足△≥0的條件．