【題目】如圖,拋物線y=(x﹣1)2+n與x軸交于A,B兩點(A在B的左側(cè)),與y軸交于點C(0,﹣3),點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo);
(2)點P是拋物線對稱軸上的一動點,當(dāng)△PAC的周長最小時,求出點P的坐標(biāo);
(3)點Q在x軸上,且∠ADQ=∠DAC,請直接寫出點Q的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:把C(0,﹣3)代入y=(x﹣1)2+n,得,﹣3=(0﹣1)2+n,

解得n=﹣4,

∴拋物線的解析式為y=(x﹣1)2﹣4,

∴拋物線的對稱軸為直線x=1,

∵點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

∴點D的坐標(biāo)為(2,﹣3)


(2)

解:連接PA、PC、PD

∵點D與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱

∴PC=PD

∴AC+PA+PC=AC+PA+PD

∵AC為定值,PA+PD≥AD

∴當(dāng)PA+PC的值最小,即A,P,D三點在同一直線上時△PAC的周長最小,

由y=(x﹣1)2﹣4=0解得,x1=﹣1,x2=3,

∵A在B的左側(cè),∴A(﹣1,0),

由A,D兩點坐標(biāo)可求得直線AD的解析式為y=﹣x﹣1,

當(dāng)x=1時,y=﹣x﹣1=﹣2,

∴當(dāng)△PAC的周長最小時,點P的坐標(biāo)為(1,﹣2)


(3)

解:如圖2中,

①作DQ∥AC交x軸于點Q,此時∠DQA=∠DAC,滿足條件.

∵A(﹣1,0),C(0,﹣3),

∴直線AC的解析式為y=﹣3x﹣3,

∴直線QD的解析式為y=﹣3x+3,

令y=0得x=1,

∴Q(1,0).

②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E,直線DE與x的交點為Q′,此時∠Q′DA=′CAD,滿足條件,

∵直線AD的解析式為y=﹣x﹣1,

∴線段AD的中垂線是解析式為y=x﹣2,

解得 ,

∴E(﹣ ,﹣ ),

∴直線DE的解析式為y=﹣ x﹣ ,

令y=0得到x=﹣7,

∴Q′(﹣7,0).

綜上所述,Q點坐標(biāo)為(1,0)或(﹣7,0)


【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出n,利用對稱性C、D關(guān)于對稱軸對稱即可求出點D坐標(biāo).(2)A,P,D三點在同一直線上時△PAC的周長最小,求出直線AD的解析式即可解決問題.(3)分兩種情形①作DQ∥AC交x軸于點Q,此時∠DQA=∠DAC,滿足條件.②設(shè)線段AD的垂直平分線交AC于E,直線DE與x的交點為Q′,此時∠Q′DA=′CAD,滿足條件,分別求解即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點;增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習(xí)冊系列答案
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A.①②
B.①④
C.①③④
D.②③④

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A.①②
B.②③
C.①②④
D.②③④

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A.
B.
C.
D.

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