Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點D為△ABC內一點，
且DB=DC，∠DCB=30°．點E為BD延長線上一點，且AE=AB

【小題1】求∠ADE的度數(shù)
【小題2】若點M在DE上，且DM=DA，
求證：ME=DC．

Answer 1

p;【答案】
【小題1】60°
【小題2】解析:
（1）如圖4．

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB==75°．
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直線垂直平分BC．
∴AD平分∠BAC．
∴∠2=∠BAC==15°．   ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°． 
證明：（2）證法一：連接AM，取BE的中點N，連接AN．（如圖5）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，
∴△ADM為等邊三角形．   ∵△ABE中，AB=AE，N為BE的中點，
∴BN=NE，且AN⊥BE．
∴DN=NM．  
∴BN－DN =NE－NM，
即 BD=ME．
∵DB=DC，
∴ME = DC．
證法二：連接AM．（如圖6）

∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，
∴△ADM為等邊三角形．
∴∠3=60°．
∵AE=AB，
∴∠E=∠1=45°．
∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．
∴∠2=∠4．
在△ABD和△AEM中，
             ∠1 =∠E，
AB=AE，
∠2 =∠4，
∴△ABD≌△AEM．  
∴BD =EM．
∵DB = DC，
∴ME = DC．