Question

4．某蘋果生產基地，用30名工人進行采摘或加工蘋果，每名工人只能做其中一項工作．蘋果的銷售方式有兩
種：一種是可以直接出售；另一種是可以將采摘的蘋果加工成罐頭出售．直接出售每噸獲利4000元；加工成
罐頭出售每噸獲利10000元．采摘的工人每人可以采摘蘋果0.4噸；加工罐頭的工人每人可加工0.3噸．設
有x名工人進行蘋果采摘，全部售出后，總利潤為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關系式．
（2）如何分配工人才能獲利最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）采摘蘋果的工人有x名，加工蘋果的工人有30-x，根據(jù)采摘的蘋果重量大于等于加工成罐頭的蘋果的重量得出關于x的一元一次不等式組，解不等式組即可得出x的取值范圍，再根據(jù)總利潤=出售罐頭的利潤+出售水果的利潤可得出y關于x的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調性，結合x的取值范圍即可解決最值問題．

解答 解：（1）采摘蘋果的工人有x名，加工蘋果的工人有30-x，
每天能采摘蘋果的重量為0.4x噸，每天能加工蘋果的重量為0.3（30-x）=-0.3x+9噸．
根據(jù)題意有$\left\{\begin{array}{l}{0.4x≥-0.3x+9}\\{30-x≥0}\end{array}\right.$，
解得：12$\frac{6}{7}$≤x≤30，
∵x為整數(shù)，
∴13≤x≤30．
總利潤y=10000（-0.3x+9）+4000[0.4x-（-0.3x+9）]=-200x+54000（13≤x≤30，且x為整數(shù)）．
（2）∵y=-200x+54000在x取值范圍內單調遞減，
∴當x=13時，y去最大值，最大值為51400，
此時30-x=17．
故分配13名員工采摘蘋果，17名員工加工罐頭才能獲得最大利潤，最大利潤是51400元．

點評 本題考查了一元一次不等式組的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）解不等式組得出x的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)的單調性解決最值問題．本題屬于中檔題，（1）有點難度，需要通過數(shù)量之間的關系找出一元一次不等式組，解不不等式組得出x的取值范圍，此處學生經常忘記函數(shù)的解析式往往要帶上值域；（2）在（1）的基礎上利用函數(shù)的單調性解決最值問題，難度不大，單若（1）不對，此問也得不到分值，故該題的重點是通過解不等式組得出x的取值范圍．