Question

（2012•南長區(qū)一模）已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B′處．
（1）當(dāng)=1時，CF=______cm，
（2）當(dāng)=2時，求sin∠DAB′的值；
（3）當(dāng)=x時（點C與點E不重合），請寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)=1時，由AB∥DF，得，由AB=6，CF可求．
（2）當(dāng)=2時，①點E在線段AB上時，延長AB′交DC于點M，求sin∠DAB′的值，即求的值，由AB∥CF，可得△ABE∽△FCE，即得=2，又AB=6，可得CF=3；由∠BAE=∠F，又∠BAE=∠B′AE，可得∠B′AE=∠F，即MA=MF．設(shè)MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，解得k=．得DM=，．即sin∠DAB′的值可求．②點E在不在線段AB上時，如圖2所示，求sin∠DAB′的值，即是求的值，同理可求．
（3）當(dāng)=x時，求△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，同理需分兩種情況，①動點的位置在線段BC上，所求△AB′E的面積即為△ABE的面積；②動點的位置不在線段BC上，△ADF的面積為所求．
解答：解：（1）當(dāng)=1時，∵AB∥DF，
∴=1．
∵AB=6，
∴CF=6cm．

（2）①如圖1．當(dāng)點E在BC上時，延長AB′交DC于點M．
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴．
∵=2，
∴CF=3；
∵AB∥CF，
∴∠BAE=∠F；
又∠BAE=∠B′AE，
∴∠B′AE=∠F，
∴MA=MF．
令MA=MF=k，則MC=k-3，DM=9-k．
在Rt△ADM中，由勾股定理得：k²=（9-k）²+6²，
解得k=MA=，
∴DM=．
∴sin∠DAB′=．
②如圖2．當(dāng)點E在BC延長線上時，延長AD交B′E于點N，同①可得NA=NE．
設(shè)NA=NE=m，則B′N=12-m，
在Rt△AB′N中，由勾股定理，得m²=（12-m）²+6²，
解得m=AN=，
∴B′N=，
∴sin∠DAB′=．

（3）當(dāng)=x時，正方形ABCD的邊長為6cm，△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y．分兩種情況：
①當(dāng)點E在BC上時．
∵=x，
∴=，BE=，
∴y=×AB×BE，即y=．
②當(dāng)點E在BC延長線上時，△ADF的面積為所求．
∵=x，∴=，
又∵AD=6，
∴FC=，DF=6-；
∴，
∴y=．
點評：此題綜合考查函數(shù)、正方形，平行線分線段成比例定理、圖形的旋轉(zhuǎn)、等知識點．分類討論的思想，綜合性強(qiáng)．