Question

保健醫(yī)藥器械廠要生產(chǎn)一批高質(zhì)量醫(yī)用口罩，要求在8天之內(nèi)（含8天）生產(chǎn)甲型和乙型兩種型號口罩共5萬只，其中甲型口罩不得少于1.8萬只．該廠生產(chǎn)能力是：每天只能生產(chǎn)一種口罩，如果生產(chǎn)甲型口罩，每天能生產(chǎn)0.6萬只；如果生產(chǎn)乙型口罩，每天能生產(chǎn)0.8萬只，已知生產(chǎn)一只甲型口罩可獲利0.5元，生產(chǎn)一只乙型口罩可獲利0.3元．設該廠在這次任務中生產(chǎn)了甲型口罩x萬只，問：
①該廠生產(chǎn)甲型口罩可獲利潤多少萬元？生產(chǎn)乙型口罩可獲利多少萬元？
②該廠這次生產(chǎn)口罩的總利潤是y萬元，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并給出自變量x的取值范圍；
③如果你是該廠廠長，在完成任務的前提下，你怎樣安排生產(chǎn)甲型和乙型口罩的只數(shù)，使獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？如果要求在最短時間內(nèi)完成任務，你又怎樣安排生產(chǎn)甲型和乙型口罩的只數(shù)？最短時間是多少？

Answer 1

解：①0.5x，0.3×（5-x）；

②y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5，
首先，1.8≤x≤5，但由于生產(chǎn)能力限制，不可能在8天之內(nèi)全部生產(chǎn)A型口罩，
假設最多用t天生產(chǎn)甲型，則（8-t）天生產(chǎn)乙型，依題意得：0.6t+0.8×（8-t）=5，
解得t=7，故x的最大值只能是0.6×7=4.2，
所以x的取值范圍是1.8≤x≤4.2；

③要使y取得最大值，由于y=0.2x+1.5是一次函數(shù)，且y隨x增大而增大，
故當x取最大值4.2時，y取最大值0.2×4.2+1.5=2.34（萬元），
即安排生產(chǎn)甲型4.2萬只，乙型0.8萬只，使獲得的總利潤最大，最大利潤為2.34萬元，
如果要在最短時間內(nèi)完成任務，全部生產(chǎn)乙型所用時間最短，
但要生產(chǎn)甲型1.8萬只，
因此，除了生產(chǎn)甲型1.8萬只外，其余的3.2萬只應全部改為生產(chǎn)乙型，
所需最短時間為1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．
分析：本題的關(guān)鍵是找出總利潤與生產(chǎn)的甲型口罩的只數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，那么根據(jù)總利潤=生產(chǎn)甲型口罩的利潤+生產(chǎn)乙型口罩的利潤，然后再根據(jù)“生產(chǎn)甲型和乙型兩種型號口罩共5萬只，其中甲型口罩不得少于1.8萬只”來判斷出x的取值范圍，然后根據(jù)此函數(shù)的特點以及題目給出的條件來計算出利潤最大和時間最短的方案．
點評：解答一次函數(shù)的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．