Question

如圖，已知△ABC中AB=AC．
（1）作圖：在AC上有一點D，延長BD，并在BD的延長線上取點E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),作圖—復(fù)雜作圖

專題：作圖題,證明題

分析：（1）以A為圓心，以AB長為半徑畫弧，與BD的延長線的交點即為點E，再以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點為圓心，以大于它們

1

2

長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與這一點作出射線與BE的交點即為所求的點F；
（2）求出AE=AC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠E=∠ACF．

解答：（1）解：如圖所示；

（2）證明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AE=AC，
∵AF是∠EAC的平分線，
∴∠EAF=∠CAF，
在△AEF和△ACF中，

AE=AC ∠EAF=∠CAF AF=AF

，
∴△AEF≌△ACF（SAS），
∴∠E=∠ACF．

點評：本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．