Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的表達(dá)式；

（2）P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A，C不重合），過點(diǎn)P作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求面積的最大值；

（3）點(diǎn)H是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)F，使得四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(1，0)，B(3，0)，；（2）面積的最大值為；（3）存在，，．

【解析】

（1）令拋物線y=x2-2x-3=0，求出x的值，即可求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），求出P、E的坐標(biāo)，用x表示出線段PE的長，求出PE的最大值，進(jìn)而求出△ACE的面積最大值；
（3）結(jié)合圖形，分兩類進(jìn)行討論，①CF平行x軸，如圖1，此時(shí)可以求出F點(diǎn)兩個(gè)坐標(biāo)；②CF不平行x軸，如題中的圖2，此時(shí)可以求出F點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)．

（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，
∴C（2，-3），

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（-1，0），C（2，-3）代入直線解析式得，

解得，

∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1，
（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1≤x≤2），
則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（x，x2-2x-3），
∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值=，
△ACE的面積最大值=PE[2-（-1）]= PE=，
（3）存在，如圖1，若AF∥CH，此時(shí)的D和H點(diǎn)重合，CD=2，則AF=2，

于是可得F1（1，0），F2（-3，0），
如圖2，根據(jù)點(diǎn)A和F的坐標(biāo)中點(diǎn)和點(diǎn)C和點(diǎn)H的坐標(biāo)中點(diǎn)相同，

再根據(jù)

求出

綜上所述滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為，．