Question

【閱讀】如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，
∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個(gè)操作過程記為FZ[θ，a]．
【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則這個(gè)操作過程為FZ[45°，3]；
【嘗試】
（1）若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ；
（2）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上，求出a的值；若點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)ASA定理得出△BCD≌△AFD，故可得出CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，由折疊可知，OD=OC，故OD=OC=CD，△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)點(diǎn)E四邊形0ABC的邊AB上可知AB⊥直線l，根據(jù)由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．再由θ=45°，AB⊥直線l，得出△ADE為等腰直角三角形，故可得出OA的長，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）連接CD并延長，交OA延長線于點(diǎn)F．
在△BCD與△AFD中，

∠BDC=∠ADF BD=AD ∠CBD=∠FAD

，
∴△BCD≌△AFD（ASA）．
∴CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

CF=CD．
又由折疊可知，OD=OC，
∴OD=OC=CD，
∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°，
∴θ=

1

2

∠COD=30°；

（2）∵點(diǎn)E四邊形0ABC的邊AB上，
∴AB⊥直線l  
由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2．
∵θ=45°，AB⊥直線l，
∴△ADE為等腰直角三角形，
∴AD=DE=2，
∴OA=OD+AD=3+2=5，
∴a=5；
由圖可知，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部．

點(diǎn)評：本題考查的是幾何變換綜合題，熟知全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識是解答此題的關(guān)鍵．