Question

半徑為1，2，3的三個圓兩兩外切，并且這三個圓都內切于⊙O，則⊙O的半徑等于________．

Answer 1

6
分析：由題意半徑為1，2，3的三個圓兩兩外切作圖，如圖CA=4，CB=3，AB=5得△OAB為直角三角形．再畫出坐標，連接OA、OC、OB，所以OA=r-3、OC=r-1、OB=r-2．作OM⊥AC，ON⊥BC，再由勾股定理得OA²=OM²+AM²同理OB²=ON²+BN²，OC²=ON²+CN²．可得r=6，即⊙O的半徑為6．
解答：解：如圖所示，由題意⊙C，⊙A，⊙B的半徑分別為1、3、2，
∴CA=4，CB=3，AB=5．
∵CA²+CB²=AB²，
∴△OAB為直角三角形，CA⊥CB，
畫出坐標如圖，O是所求圓的圓心設半徑為r，連接OA、OC、OB，
∴OA=r-3、OC=r-1、OB=r-2，
A（0，4），B（3，0），C（0，0），
設O（x，y），過O作OM⊥AC，ON⊥BC，
則OA²=OM²+AM²即（r-3）²=x²+（y-4）²，①
同理OB²=ON²+BN²即（r-2）²=y²+（x-3）²，②
OC²=ON²+CN²即（r-1）²=y²+x²，③
由①②③式得r=6，x=3，y=4，
∴⊙O的半徑等于6．
點評：這道題考查了相切圓的性質和勾股定理，以及坐標求解法的應用，同學們應熟練掌握，這能更有效地提高做題效率．