已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）當(dāng)a=1時，求f（x）的極值；（II）若函數(shù)f（x）在數(shù)學(xué)公式上恒大于零，求實數(shù)a的最小值．

解：
（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-1-2lnx，則f′（x）=1-（2/x）…2分
由f′（x）＞0得x＞2；由f′（x）＜0得0＜x＜2…3分
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞]…4分
∴f（x）有極小值f（2）2-2ln2，無極大值…5分
（2）要對任意的x∈（0，1/2），f（x）＞0恒成立，
即對x∈（0，1/2），a＞2-恒成立，…6分
令l（x）=2-，x∈（0，），
則l′（x）=[-（2/x）（x-1）-2lnx]/（x-1）2=（2lnx+2/x-2）/（x-1）…7分
令M（x）=2lnx+2/x-2），x∈（1，）
則M′（x）=-2/x2+=-2（1-x）/x2＜0…8分
故M（x）在（0，）為減函數(shù)，所以M（x）＞M（）=2-2ln2＞0…9分
所以l′（x）＞0，所以l（x）在（0，）上為增函數(shù)…10分
所以l（x）＞l（）=2-4ln2
所以要使a＞2-恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞）
綜上：若函數(shù)f（x）在上恒大于零，實數(shù)a的最小值為2-4ln2…12分
分析：（1）當(dāng)a=1時代入函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，計算極值，
（2）展開函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的值判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用恒成立問題求出最值
點評：該題考查利用導(dǎo)數(shù)求極值問題，為基礎(chǔ)題，可根據(jù)恒成立問題求出a的范圍，根據(jù)給出的x的值求a的最小值，也可以先求導(dǎo)再根據(jù)情況討論．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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